مفاهیم پایه ریاضیات و نرم افزارهای مالی
درسگفتاری از دکتر حسن کیائی عضو هیئت علمی دانشگاه امام صادق(ع)
دکتر حسن کیائی دارای مدرک دکتری علوم اقتصادی از دانشگاه تهران و فارغ التحصیل کارشناسی ارشد معارف اسلامی و اقتصاد از دانشگاه امام صادق (ع) می باشند و هم اکنون به عنوان عضو هیئت علمی دانشکده معارف اسلامی و اقتصاد دانشگاه امام صادق (ع)ومعاون پژوهشی این دانشکده مشغول فعالیتند.دکتر کیائی در کنار سوابق علمی،پژوهشی و تدریس در زمینه های مختلف مالی در دانشگاه های مختلف، برخی سوابق اجرایی چون مشاور اقتصادی شرکت تأمین سرمایه لوتوس،مدیرسابق سرمایه گذاری در شرکت سبدگردانی کاریزما و.. را نیز در کارنامه خود دارند.
جناب آقای دکتر کیائی در شهریورماه۹۹ ضمن حضور در مدرسه تابستانه مالی به ارائه ای در حوزه آشنایی با مفاهیم اولیه ریاضیات و نرم افزارهای مالی پرداختند که این درسگفتار در ادامه جهت استفاده مخاطبین محترم منتشر می شود:
(توجه: این درسگفتار مطابق با محاوره استاد محترم پیاده سازی شده است.مخاطبین محترم میتوانند فایل جزوه مکتوب و فایل ارائه درس را از طریق بخش های مربوط در سایت دریافت نمایند)
«بسم الله الرحمن الرحیم»
آشنایی با مفاهیم و مقدمات ریاضیات مالی و نرم افزار های مالی
دکتر حسن کیائی عضو هیئت علمی دانشکده معارف اسلامی و اقتصاد دانشگاه امام صادق(ع)
جایگاه مدل سازی در مالی
معمولا مدل ها چارچوبی هستند که ورودی ها را به خروجی تبدیل میکنند. مدل ها حتما دامنه ای از آسان به پیچیده دارند. پس مدل سازی در همه جا حضور دارد و کاربرد دارد.پیچیدگی یک مدل لزوما میزان توضیح دهندگی یا اعتبارش را افزایش نمیدهد بلکه بعضی مواقع ما نیازمند یکمدل پیچیده هستیم ، در صورتی که امکان دارد یک مدل ساده در جای دیگری میزان توضیح دهندگی اش قابل قبول باشد.
یکی از جملاتی که در بحث مدل سازی معروف است و از یک ریاضیدان معروف به نام جورج باکس نقل میشوداین است که میگوید ، همه ی مدل ها اشتباه هستند و بعضی از آن ها بدرد بخور هستند. پس مدل سازی در کل اشتباه است و علتی که ما مدل سازی میکنیم این است که بتوانیم با استفاده از آن به حقایق نزدیک ترشویم
سیر تاریخی ریاضیات مالی
تقریبا تا قبل از سال ۱۹۰۰ میلادی استفاده ای که از ریاضی در مالی میشد ، محاسبات ریاضیاتی بوده. اولین محاسبات ریاضی برای نرخ بهره زمانی ایجاد شد که اولین بانک ها ایجاد شدند و سپرده هایی راجذب کردند و در انتهای ماه ، سود را تقسیم میکردند. در ادامه ، سهام و اوراق قرضه و … ، از محاسبات ریاضی استفاده میکنند. پس کاربرد ریاضیات زمانی ایجاد شد که ابزار های مالی ایجاد شدند.
یکی از قسمت های جالب این است که همینطور که ابزار ها ساخته میشوند و توسعه پیدا میکنند ریاضیات خاص خودشان هم بروز و ظهور پیدا میکند. مثلا با ایجاد صندوق های سرمایه گذاری ، سوال های جدیدی بوجود میاید که باعث توسعه ی آن ابزار مالی و بروز ریاضیات خاصش میشود.
در سال ۱۹۰۰ میلادی اتفاقی افتاد که باعث شد ریاضیات به سمت مدرن شدن حرکت کند. ریاضیات نوین مالی همراه با پیدایش ابزار های مشتقه ، معرفی شدند و عموما به قیمت گذاری این ابزار می پردازند.
در سال ۱۸۲۷ یک دانشمند انگلیسی به نام رابرت براون ، با مشاهده ی حرکت تصادفی گرده های ریز در آبکه بدون منطق ریاضی بود اما منظم بود به به یک حرکتی رسید که این حرکت به نام براونینگ معروف است.این حرکت در سال ۱۹۰۵ توسط انیشتین مورد استفاده قرار میگیرد و تئوری خودش را برای حرکت مولکول هاو اتم ها مطرح میکند. البته ریشه ی این ریاضیات به ریاضی دانی به نام Bachelier در سال ۱۹۰۰ ، پیرامون استفاده از از فرآیند تصادفی زمان پیوسته وینر و معادلات دیفرانسیل تصادفی جزئی ، در قیمت گذاری اختیاراتبرمی گردد.
اما این روند در سال ۱۹۷۳ توسط Black-Scholes به اوج خود میرسد و باعث میشود تا فرمول معروف خودشان را مطرح کنند. یکی از علت هایی که این فرمول ها اهمیت دارند این است ، هنگامی که فرمول ها ارائه شدند ، قوانینی بر اساس این فرمول ها بر روی بازار حاکم شد. بعد از اینکه قوانین حاکم شد ، مردم برای اینکه روند بازار را بتوانند حدس بزنند مجبور بودند از همان فرمول ها استفاده کنند. پس ما با درست یا غلط بودن این فرمول ها کار نداریم چون این قوانین عادی شده و همه از آن استفاده میکنند و نسبت به آن واکنش نشان میدهند.
در پیرامون این اتفاق ها در سال ۱۹۶۵ تئوری معروف فاما و ساموئلسون پیرامون بازار کارا ارائه شد مبنی بر اینکه در یک بازار کارآمد ، رفتار تغییر قیمتی قابل پیش بینی نیست. بازار کارا ، بازاری است که انقدر اطلاعات و مدل ها به صورت مساوی در اختیار همه داده میشود تا کسی نتواند از سود غیر نرمال استفاده کند.همچنین در همان سال ها در مقاله دیگری ساموئلسون و مک کین نشان دادند رفتار تغییر قیمت سهام از حرکت براونی هندسی تبعیت میکند. حرکت براونی هندسی همچنان هم قابل استفاده است و بسیار موثر است.
مدل های ریاضی که اخیراً ارائه میشوند سعی دارند تا علاوه بر تحلیل رفتار سرمایه گذار در انتخاب ابزار ها، بهتحلیل رفتار نهاد ناظر و زیر ساخت های قانونی نیز بپردازد. در حال حاضر قوانین دیگری به جز سرمایه گذار درحال بررسی است تا به مدل بهتری برسند. به طور مثال تا ۲۰ سال پیش میگفتند که رفتار بانک ها باید اینگونه باشد تا ثبات مالی داشته باشند اما در حال حاضر میگویند که بانک مرکزی چگونه باید نظارت کند تا ثبات مالیداشته باشیم. به همین منظور مباحثی همچون اینکه ما یک شورای نظارت داشته باشیم و یک هیات نظارت بانک مرکزی ، یا اینکه هر دوی اینها یکی باشند و یا اینکه ما نظارت های خرد را با کلان یکی بکنیم یا تفکیک کنیم ، پیش آمد.
سر فصل های ریاضی مالی
سوالی که بسیار مطرح است این است که برای شروع یادگیری ریاضی مالی به چه سر فصل هایی باید تسلط داشته باشیم؟
با یک تسلط نسبی به دانش ریاضی ای که در ادامه گفته میشود ، میتوان به حوزه ی ریاضی مالی ورود پیدا کرد:
• جبر ماتریس
• انتگرال و معادلات دیفرانسیل ریاضیات معین
• بهینه سازی پیوسته و گسسته
• فرایندهای تصادفی:۱. زمان پیوسته : مانند فرآیند وینر
۲. زمان گسسته : مانند فرآیند پواسون ریاضیات تصادفی
۳. شبیه سازی عددی فرآیند های تصادفی• بهینه سازی تصادفی پیوسته و گسسته
یکی از علت هایی که از شبیه سازی عددی استفاده میکنیم این است که در ریاضیات تصادفی ،معادلاتی وجود دارد که بسیار سخت قابل حل هستند ، پس به جای آن از شبیه سازی استفاده میکنیم.
سر فصل های اصلی ریاضیات مالی
• محاسبه و سنجش ریسک
o شاخص های نوسان
o معیار های سنجش ریسک : مانند ارزش در معرض خطرما انواع مختلف ریسک ها داریم که در اینجا به ریسک بازاری میپردازیم. ریسکی که ناشی از نوسان قیمت
هاست. نوع های دیگر ریسک مانند عملیاتی ، اعتباری ، نقدینگی و …مدلی که بسیار جذاب است ، مدل ارزش در خطر است. این مدل به ما میگوید که حداکثر زیانی که یک سهم در طی یک روز به من متحمل میشود چقدر است. به طور مثال امکان دارد با خرید سهام فولاد مبارکهروزی ۱۰۰ تومن ضرر کنیم اما با خرید سهم بانک پاسارگارد ، روزانه ۲۰۰ تومن ضرر میکنیم. پس سهم فولاد مبارکه کم ریسک تر از بانک پاسارگارد است. در گذشته وقتی کسی درباره ی میزان ضرر در روز صبحت میکردآنچنان به حرفش اهمیت نمیدادند.
با مدل ارزش در معرض خطر ما یک لیستی میسازیم که بگوییم که شرکتی پر رسیک است و شرکتی کم ریسک است.
• تئوری سرمایه گذاری
o تعیین سبد بهینه
o محاسبات بتای سبد سرمایه گذاری ( CAPM )
o بیهنه سازی تصادفی سبد دارایی هابعد از اینکه میزان ریسک یک سهم را مشخص کردیم ، این بحث که از کدام سهم چه میزان بخرم تا سود بیشتری کسب کنم یا ضرر کم تری متحمل شوم بسیار امر مهمی است. پس این مبحث به ما کمک میکند تا سبد هایی با وزن های بهینه خریداری کنیم.
بعد از انتخاب سبد بهینه ، باید بتای سبد خود را بدست بیاوریم. بتای سبد یعنی اینکه سبد ما نسبت به بازار ، بهتر سود میدهد یا بد تر ، یا پر ریسک تر است یا کم ریسک تر.بهینه سازی تصادفی سبد دارایی هنوز در ایران رواج ندارد علتش هم ، دانشی است که هنوز در ایران توسعه پیدا نکرده. در حال حاضر غالبا ، بهینه سازی تصادفی ارزش بیشتری نسبت به بهینه سازی سنتی دارد.
خیلی از تغییرات قیمت در بازار به صورت تصادفی است. به طور مثال برای یک سهم در حال صعود ، بالا و پایین های زیادی اتفاق میوفتد. ما آن روند کلی را میتوانیم تشخیص دهیم اما این بالا و پایین های تصادفی ،نیاز به مدل خاص خودشان را دارند که مدل های بهینه سازی تصادفی در این امر به ما کمک میکنند.
پس فرق بهینه سازی تصادفی با بهینه سازی سنتی در این است که بهینه سازی سنتی روند کلی سهم را تشخیص میدهد اما بهینه سازی تصادفی بالا و پایین های یک سهم در روند کلیش را هم تشخیص میدهد.
• محاسبات نرخ های بهره
o مرابحه مرکب پیوسته و گسسته و منحنی بازده
o محاسبات اقساط تسهیلاتمحاسبه ی نرخ بهره یعنی اینکه ما غالباً نیاز داریم که نرخ ها را در زمان های مختلف داشته باشیم. به طور مثال اوراقی که دولت به عنوان اوراق اجاره ی دولت ، به عنوان حراج های هفتگی منتشر میکند که دارای سود ۱۸% میباشد اما با کپن های ۶ ماهه. حالا ما باید سود موثر این کپن ها را بدست بیاوریم تا بتوانیم با نرخ های دیگر بسنجیم. مثلا با ۱۸ % سودی که بانک به صورت ماهانه میدهد ، چه مقدار برای من فرق دارد.
قسمت دیگری که بسیار اهمیت دارد این است که اگر شرکتی به ازای سهمش روزانه چند درصد سود به ما بدهد ما نمیتوانیم این چند درصد سود را تقسیم بر ۳۶۵ بکنیم تا سود پایانی را محاسبه کنیم. چون این سودبه صورت مرکب است یعنی هر چقدر ما سهم بیشتری نگه داری کنیم تا پایان سال سود بیشتری به ما میدهد. اصطلاحا به این قسمت مرابحه مرکب میگویند. بعضی وقت ها امکان دارد ، سود ما لحظه ای باشد که به این قسمت مرابحه مرکب پیوسته میگویند.
مبحث بعدی ، محاسبات اقساط تسهیلات است که بسیار کاربردی است. پشت سر این محاسبات یک معادله ی دیفرانسیلی وجود دارد که ارزشش را بالا میبرد. کارایی آن به طور مثال در دریافت وام بانکی قابل شهود است.
• محاسبات مالی شرکت
o تحلیل و پیش بینی صورت های مالی
o محاسبات اهرمی و نقطه سر به سر
o استهلاک و مالیات
o بودجه بندی سرمایه ( ارزیابی طرح های اقتصادی)محاسبات مالی شرکتی ، برای شرکت هایی است که غیر مالی هستند ، مثلا شرکت های پتروشیمی.متاسفانه نگاه تخصصی به این موضوع در کشور ما وجود ندارد و آنرا با حسابداری یکی میکنند.
اگر ما در یک شرکت سرمایه گذاری کار بکنیم ، بد ترین اتفاقی که برای ما امکان دارد بیوفتد این است کهسبد سرمایه گذاریمان را از دست بدهیم. اما اگر درمورد یک شرکت بزرگتری مانند شرکت های پتروشیمی ، نگاه درستی به این موضوع وجود نداشته باشد ، نمیدانند که چگونه تامین مالی کنند ، نمیدانند با چه نرخی تسهیلات بگیرند و یا حتی با چه نرخی اوراق را عرضه کنند.تحلیل و پیش بینی صورت مالی برای مدیر شرکت و سرمایه گذار قابل استفاده است.
برای اهرم های بدهی یا عملیاتی یک شرکت ، انواع و اقسام مدل ها وجود دارد که میتواند اهرم بهینه رامشخص کند. حتی برای تایین نقطه ی سر به سر هم کارایی دارد یعنی اینکه بگوییم درآمد شرکت ازچقدرکمتر شود ، شرکت منطق ادامه فعالیت ندارد. حتی بعضی مواقع امکان دارد درآمد منفی شود ما باید تشخیص دهیم که تا چقدر ادامه دهیم تا منطق شرکت از بین نرود.
محاسبات بعدی که ریاضی مالی به ما کمک میکند بحث استهلاک و مالیات است که به شدت میتواند در سود وزیان تاثیر بگذارد.
تا به اینجای کار محاسبات ما ، محاسبات سنگینی نبود اما در قسمت بودجه ریزی سرمایه اینگونه نیست و به همین علت ، این قسمت شاید مهم ترین کاربرد ریاضیات مالی باشد.
بعد از چند سال که سود شرکت زیاد میشود این سوال پیش میاید که با این سود چه کنم. ایا شرکت جدید
راه اندازی کنم یا شرکتی جدید بخرم ، ایا در جایی سرمایه گذاری کنم و …بودجه ریزی سرمایه به ما کمک میکند تا با پولی که داریم ، چه کنیم تا سود بیشتری کسب کنیم.
• مدل های قیمت گذاری
o سهام
o اوراق قرضه
o قرارداد های آتی
- تعیین نسبت بهینه پوشش شرکت
o قرارداد های معاوضه
o قیمت گذاری اختیارات
- مدل دوجمله ای
- مدل بلک – شولز
غالب مواردی که در ریاضیات نوین بحث میشود ، بحث مدل های قیمت گذاری است.مدل های قیمت گذاری یک طیفی از انواع مدل ها برای انواع ابزار هاست.
برای قیمت گذاری سهام میتوانیم از روش P بر روی E یا روش Discounted Cash Flow یا خالص ارزش
دارایی ها ، استفاده کنیم.برای قیمت گذاری اوراق قرضه ، بسته به کپن دار بودن یا نبودن آن ارزش را حساب میکنیم و قیمت گذاری
میکنیم.قرارداد های آتی زمانی به کار میاید که ما قصد استفاده از کالایی را برای آینده داریم اما از این میترسیم که امکان دارد قیمت کالا در آینده بیشتر شود و من با خریدن آن کالا ضرر کنم. پس برای این مشکل من قراردادآتی میببندم و مقداری از پول کالا را به عنوان تضمین میدهم تا کالا را برای آینده به همان قیمتی که قرارداد بسته شده تهیه کنم. این قرارداد ها در صورتی که قیمت کالا گران شود برای ما سود دارد اما اگر قیمت کالادر آینده پایین بیاید ما ضرر خواهیم کرد. اما باز با همین حال این قرارداد نوعی پوشش است برای ریسکی که امکان دارد در آینده رخ دهد.
قرارداد های معاوضه چند نوع است ، نوع اول آن معاوضه کالا با کالا و نوع دوم آن معاوضعه ی یک جریان نقدبا جریان نقد دیگر و …
معاوضه ی نوع اول هنگامی رخ میدهد که مشکلات زمانی یا مکانی وجود داشته باشد. به طور مثال در کشور ما پالایش گاز در جنوب کشور رخ میدهد و استان شرقی و شمالی با کمبود گاز روبرو هستند. برای این که مشکل گاز مناطق شرق و شمال کشور را حل کنیم باید هزینه ی زیادی برای لوله کشی از جنوب کشور به آن مناطقانجام دهیم. اما از آنجا که کشور همسایه ما ، ترکمنستان ، یکی از کشور هایی است که منابع گازی بسیاری دارد و نسبت به سایر کشور ها به ما نزدیک تر است به جای اینکه ما هزینه ی زیادی بکنیم تا گاز را لوله کشی کنیم تا استان های شرق و شمال کشور ، به ترکمنستان میگوییم که شما منابع گازی شرق و شمال کشور ما را تامین کن و در ازای آن نیز ما گاز خود را برای شما میفرستیم.
معاوضه های نوع دوم به طور مثال هنگامی رخ میدهد که یک شرکت در اروپا است ولی بازارش در آمریکاستیعنی با یورو هزینه میکند و با دلار درآمد میکند. وقتی این اتفاق میوفتد ، شرکت ریسک زیادی برای نرخ ارز دارد. برای رفع این مشکل این شرکت جریان نقدی اش را با شرکتی که در آمریکاست و بازارش در اروپاست معاوضه میکند. اینطوری هر دو شرکت ارزی که برای هزینه ها و درامدشان کسب میکنند یکی میشود.
قیمت گذاری اختیارات تقریبا نوع پیشرفته ی قرارداد های آتی است. یعنی ما اختیار خرید یک کالا را با مقداریهزینه میخریم و در آینده اگر قیمت کالا بیشتر شد ، ما آن کالا را میخریم اما اگر قیمت کالا پایین آمد ما کالا را نمیخریم و بیخیال آن مقدار هزینه ای که دادیم میشویم چون از ضرری بیشتر جلوگیری کردیم. اما این قیمت گذاری اختیارات دارای چند مدل است که به بررسی دو مدل آن میپردازیم.
آنچه مورد بحث قرار نگرفت:
• اقتصاد سنجی مالی
o مدل های سری زمانی
o مدل های لوجستیک
o مدل های پانل• تحلیل و استباط داده ها
o آزمون های استنباط آماری
o مدل های داده کاوی و یادگیری ماشین
پرسش ها و پاسخ ها :
۱) معاملات با قیمت گذاری اختیارات چه مزیتی برای فروشنده دارد؟
فروشنده ها هم میتوانند اختیار فروش را بخرند. یعنی مقداری هزینه میکنند و به شرکتی که قرار است کالا را از آن ها بخرد ، پول میدهد و به ازای آن اختیار فروش را دارد که اگر قیمت کالا افزایش یافت ، کالا را در بازارآزاد به فروش میرساند و اگر قیمت کاهش یافت چون اختیار دارد ، کالا را به آن شرکت میفروشد.
۲)فرمول بلک – شولز ، فرمول دقیقی نیست. پس چرا ما همچنان از این فرمول استفاده میکنیم؟
با توجه به صحبت جرج باکس ، ما هیچ مدل درستی نداریم. اما به ما کمک میکند تا حدی از واقعیت را بشناسیم. اما چون بازار در حال حاضر با قیمت گذاری اختیارات میچرخد این فرمول آن چنان صدق نمیکندپس اگر بازار را با فرمول بلک – شولز بچرخانیم ، خواهیم دید که این فرمول چقدر برای آن بازار کارامد است.
۳)برای پوشش ریسک سبد سهام ، بهتر است اختیار خرید سبدی که خریداری شده را بخریم یا فقط
اختیار خرید را بخریم؟در فضای بازار ایران ، برای همه ی سهام ها اختیار خرید و فروش نداریم. حتی با اینکه بعضی از سهم ها اختیار خرید و فروش دارند ، برای همه ی سر رسید ها و همه ی قیمت ها این اختیار را نداریم. به طور مثال برای فولاد مبارکه فقط سر رسید آبان داریم. بنابراین کارایی خودش را در بازار ایران برای پوشش ریسک ندارد.
۴. آیا شوک های مختلفی مثل اصلاح قیمت انرژی ، نرخ ارز ، تحریم و … را هم میتوان مدل سازی کرد؟با توجه به اینکه وقوع این اتفاقات معمولا زا ثبل مشخص نیست چطور میتوان زیان های احتمالی را از طریق مدلسازی کاهش داد؟
بله این مدلسازی حتما قابل انجام است. درباره ی شوک ها باید بگوییم که چقدر تکرار پیدا کرده اند به طور مثال رویدادی مانند تحریم که مقطعی اتفاق افتاده و امکان دارد اتفاقی سیاسی باشد که تحلیل اقتصادی آن هم سخت است ، مدلسازی اش دشوار است اما نشدنی نیست. اما چیزی مثل شوک نفتی چون تکرار زیاده داشته و حتی آثار آن هم مشخص است ، برایش میتوانم مدل های مختلفی بسازیم.
«پایان»
(مخاطبین محترم جهت دریافت فایل جزوات مکتوب و ارائه های مربوط به درس به بخش های مرتبط در سایت مراجعه نمایند)
